a+(b+c) = (a+b)+c

1+(-1+1e-16)!=(1-1)+1e-16

8633234880035284361012699002231346851047
7370930755992152681390347795323097511687
1700576364808072714138332471217057631111
0855841562345802001852561285289722619610
5357173387251523920946707380414694987101

KYOTO + KYOTO + KYOTO = TOKYO

احتمالن شما هم چیزهایی درباره‌ی سیستم‌های آشوب‌ناک (Chaotic) شنیده‌اید. در این پست می‌خوام یک بازی ریاضی آشوب‌ناک و جالب را به شما معرفی کنم. با این بازی به‌سادگی می‌تونید با یک برنامه‌ی کامپیوتری مثلث سیرپینسکی را بکشید.

خب اول بگم بازی چه جوری هست. یک کاغذ سفید بردارید و یک مثلث بزرگ روی آن بکشید. سه گوشه‌ی مثلث را با اعداد ۱ تا ۳ شماره‌گذاری کنید. حالا نقطه‌ی دل‌خواه P را روی صفحه‌ی کاغذ بکشید. بعد یک گوشه‌ی تصادفی از مثلث را انتخاب کنید، مثلن ۳. نقطه‌ای که دقیقن وسط نقطه‌ی P و گوشه‌ی ۳ مثلث باشد را پیدا کنید و اسم‌اش را Q بگذارید. دوباره یک گوشه‌ی تصادفی ازمثلث را انتخاب کنید و نقطه‌ی وسط این گوشه و Q را پیدا کنید و اسم‌اش را R بگذارید. اگر همین کار را هزاران بار تکرار کنید، شکلی شبیه شکل زیر به دست می‌آید.
خیلی جالب هست، نه؟ اسم این شکل مثلث سیرپینسکی (Sierpinski) هست. نکته‌ی جالب‌تر اینه که مهم نیست نقطه‌ی P که اول انتخاب کرده بودید، کجای صفحه باشه. این روند همیشه منجر به تولید مثلث سیرپینسکی می‌شه. نکته‌ی جالب دیگه این هست که ترتیب انتخاب گوشه‌های مثلث اصلی هم اهمیتی نداره.

مثلث سیرپینسکی در بازی بالا یک نمونه از مفهمومی هست به نام جاذب (Attractor) که در سیستم‌های آشوب‌ناک زیاد به کار می‌ره. جاذب به طور ساده یعنی این که جواب یک سیستم آشوب‌ناک تنها یک زیرفضا از کل فضای حل‌های ممکن را پوشش بده. مثلن در مثال بالا، فضا کل نقاط صفحه هست. ولی همان‌طور که دیدید، این بازی تنها یک مثلث سیرپینسکی را پوشش داد، نه کل نقاط صفحه را.

من این بازی را اولین بار حدود ۹ سال پیش در یک فیلم دیدم که متأسفانه اسم‌اش یادم نیست.

تکمیلی: ظاهرن این نوشته کمی گنگ بود. باید اذعان کنم که بازی بالا مثال خوبی برای توصیف پدیده‌ی آشوب نیست، ولی از نظر ریاضی آشوب‌ناک هست. چون نمی‌خوام در این مرحله متن را ویرایش کنم، توصیه می‌کنم که پاراگراف یکی مانده به آخر را ندیده بگیرید و نوشته را به چشم راهی برای کشیدن مثلث سیرپینسکی ببینید.

نوشته‌ی چند روز پیش من درباره‌ی حدس پوانکاره را احتمالن به یاد دارید. نوشته بودم یک ریاضی‌پیشه‌ی روس به نام دکتر گریشا پرلمن این قضیه را بعد از ۱۰۰ سال حل کرد. حالا یک خبر جدید.

دکتر پرلمن گفته اگر اثبات‌اش درست ارزیابی بشود، او جایزه‌ی یک میلیون دلاری مؤسسه‌ی کلی (Clay) را قبول نخواهد کرد. همچنین روایت‌هایی وجود داره که می‌گه احتمالن دکتر پرلمن جایزه‌ی فیلدز (Fields) را هم رد می‌کند. عجیب هست نه؟ بردن فیلدز آرزوی هر ریاضی‌پیشه‌ای هست.

البته پرلمن مدتی پیش هم یک جایزه‌ی معتبر اروپایی را رد کرد. او گفته بود که کمیته‌ی جایزه را شایسته‌ی قضاوت در مورد کارش نمی‌داند.

یک نکته‌ی جالب دیگر روش انتشار مقاله بود. مقاله‌ای که پرلمن در آن اثبات را نوشته، بعد از ۸ سال کار در سال ۲۰۰۲ منتشر شد. ولی نه در یک ژورنال دارای داور که در آرشیو مقاله‌های ریاضی. فکرش را بکنید، اون وقت ماها خودمان را می‌کشیم تا در یک ژورنال دسته چندم مقاله چاپ کنیم.

دکتر دوساتوی استاد آکسفورد گفته: «اگر او جایزه را ببرد و بعد آن را رد کند، ممکن است کمی توهین‌آمیز باشد. او خود را از جامعه‌ی ریاضی منزوی کرده است. به پول علاقه‌ای ندارد و جایزه‌اش، اثبات قضیه‌اش بود.»

منبع: Guardian

تکمیلی: ظاهرن پرلمن از پست‌اش در مؤسسه‌ی ریاضی استکلوف (Steklov) در سنت‌پترزبورگ استعفا داده و کسی هم نمی‌دونه کجا رفته. به نظر علاقه‌اش را به ریاضی از دست داده.

منبع: New Scientist

احتمالن درباره‌ی جایزه‌ی کلی (Clay Prize) شنیدید. در ریاضی ۷ مسأله‌ی مهم هست که هنوز حل نشده‌اند و مؤسسه‌ی کلی برای حل هر کدام از این مسأله‌ها یک میلیون دلار جایزه می‌ده که واقعن برای حل چنین مسائلی قابل توجه نیست.

یکی از این مسأله‌ها حدس پوانکاره (Poincare Conjecture) هست. حدس پوانکاره بیش از ۱۰۰ سال هست که مطرح شده و تا حالا کسی اون را حل نکرده بود. ولی ظاهرن یک ریاضی‌دان روس این مسأله را حل کرده.

توضیح این که حدس پوانکاره چی هست یک خرده سخته. با این حال خود حدس خیلی ��اده هست و تعجب می‌کنید چه‌طور این همه مدت کسی این مسأله را حل نکرده بود. حدس این هست: هر منی‌فلد سه‌بعدی هم‌بند ساده‌ی بسته با یک کره‌ی ۳ بعدی هم‌ریخت هست. حالا این یعنی چی؟

منی‌فلد (Manifold) یعنی یک سطح که به صورت موضعی تخت به نظر بیاد. مثلن سطح کره‌ی زمین یک منی‌فلد دوبعدی هست. هم‌بند ساده‌ و بسته (Closed and Simply Connected) یعنی این که در سطح سوراخی نباشه. یک مثال ساده فنجان قهوه‌خوری شما هست. داخل دسته‌ی فنجان یک سوراخ هست. پس سطح فنجان یک منی‌فلد هم‌بند بسته نیست. هم‌ریخت (Homeomorphic) هم یعنی این که هندسه‌ی دو سطح ممکن هست فرق کنه ولی توپولوژی اون‌ها یکی هست.

حالا یک توپ را در نظر بگیرید. دور خط استوای توپ یک کش لاستیکی ببندید. کش را به طرف قطب شمال توپ حرکت بدین. در نهایت کش در قطب شمال به یک نقطه تبدیل می‌شه. اثبات می‌شه هر وقت بتونید کش را به یک تقطه تبدیل کنید، آن شکل یک کره هست.

حالا حدس پوانکاره می‌گه اگر شما منی‌فلدی سه‌بعدی داشته باشید و بتونید یک کش را به همین طریق به یک نقطه تبدیل کنید، اون سطح باید یک کره‌ی سه‌بعدی باشه.

مسأله به نظر خیلی پیچیده نمی‌آد، ولی از بس سخت بوده که تازه بعد از ۱۰۰ سال حل شده. کسی که این قضیه را اثبات کرده گریشا پرلمن (Grisha Perelman) هست و احتمالن با این حل نه تنها جایزه‌ی کلی که جایزه‌ی فیلدز را هم می‌بره. جایزه‌ی فیلدز چیزی در حد نوبل برای ریاضی هست.

منبع: Nature

پیش از همه، از این که این پست یک کمی زیادی ریاضی دارد عذر می‌خوام ولی فکر می‌کنم براتون جالب باشه. در عین حال یک مقدمه هست برای روشی که شاید بعدها بیش‌تر درباره‌اش بنویسم.

فرض کنید می‌خواهید مساحت یک دایره را حساب کنید. یک راه ساده اینه که یک مربع بکشید و آن را با تعدادی نقطه‌ی تصادفی پر کنید. بعد یک دایره درون مربع بکشید و ببنید چند نقطه داخل دایره می‌افتد. اگر تعداد نقاط داخل دایره را به تعداد کل نقاط تقسیم کنید، نسبت مساحت دایره به مربع به دست می‌آد. جزئیات را در شکل زیر کشیدم.

به این روش می‌گن روش مونتی کارلو(Monte Carlo). چرا؟ چون بر اساس نقاط تصادفی کار کرد. مثل کازینوهای شهر مونتی کارلو که همه چیز شانسی است. حالا با شکل بالا می‌شه مقدار تقریبی عدد پی را حساب کرد. من با استفاده از یک میلیون نقطه عدد پی را 3.1412 به دست آوردم که به 3.1415 واقعی خیلی نزدیک است.

اما بگذارید جلوتر بریم. این‌ها که ساده بود. حالا می‌خواهیم حجم یک کره‌ی ۷ بعدی در فضای تخت را حساب کنیم. علی‌الاصول هر کس که ریاضی ۲ را گذرانده باشه باید بتونه به‌طور تحلیلی این کار را انجام بده. حجم یک کره‌ی ۷ بعدی با شعاع R برابر است با:

حالا اگر مثل من مهندسی خونده باشین و وضع ریاضی‌تون خراب باشه :))، می‌تونین با روش مونتی کارلو به‌سادگی این کار را انجام بدین. تکه کد MATLAB زیر (من با GNUOctave اجرا کردم) حجم یک کره‌ی d بعدی را به شما می‌ده. عدد n تعداد نقاط تصادفی هست که برای محاسبه استفاده می‌کنید.

function sphr_vol
n = 1000000;
d = 7;
x = rand(d,n);
size(find(sum(x.^2)

همان‌طور که می‌بینید من حجم یک کره‌ی ۷ بعدی با شعاع واحد را با یک میلیون نقطه‌ی تصادفی حساب کردم که برابر 4.7277 در آمد در حالی که مقدار دقیق با فرمولی که در بالا گفتم 4.7244 است. می‌بینید چه ساده بود. حالا می‌توانید حجم کره از هر بعدی را که دوست دارید حساب کنید.

البته این یک کاربرد ساده‌ی روش مونتی کارلو بود. روش مونتی کارلو در سیستم‌های غیرخطی و آشوبناک با درجات آزادی بالا ارزش خود را بیش‌تر نشون می‌ده. شاید به زودی یک مثال پیچیده‌تر را با این روش حل کردم.

گمان می‌کنم مطلب به اندازه‌ی کافی واضح باشه ولی اگر جاییش گنگ هست خوشحال می‌شم بدونم تا اصلاح کنم.

I used the Monte Carlo Method to calculate the volume of a 7 Dimensional sphere in the flat Euclidean space. The monte Carlo method is also useful to simulate stochastic systems with many degrees of freedom.