متفرقه | نظرخواهی بسته است
جناب
مازوخ در کامنتهای مربوط به پست
یک بازی آشوب، از من خواستند که معنی بعد اعشاری را بگم. خوشبختانه درک بعد اعشاری کار سختی نیست. برای مثال ممکن است شکلی نه دو بعدی باشه و نه سه بعدی، بلکه ۲٫۵ بعدی باشه. ولی چهطور چنین چیزی ممکن هست؟
اول باید مفهومی را تعریف کنیم به نام بعد برخالی (فراکتالی). تعریفهای دیگری هم برای بعد وجود داره که به بحث ما مربوط نمیشه. برخه در فارسی به معنی کسر (Fraction) هست. برخال یا فراکتال، شکلی هست که احتمالن بعدی غیر صحیح داره. البته برخالهای زیادی هم هستند که بعدی صحیح دارند.
بگذارید معنی بعد برخالی را با مثال سادهی مثلث توضیح بدم. دو مثلث متساویالاضلاع را در نظر بگیرید که طول ضلع یکی دو برابر دیگری باشد (شکل زیر).

همانطور که میبینید، وقتی طول ضلع ۲برابر بشه، مساحت مثلث ۴ برابر میشه. حالا یک سوآل: ۲ باید به توان چه عددی برسد تا برابر ۴ بشه؟ خوب معلومه که جواب ۲ هست. بنابراین میگوییم مثلث یک شکل ۲ بعدی است.
حالا بگذارید به همین روش، تعداد ابعاد مثلث سیرپینسکی را تعیین کنیم. دو مثلثن سیرپینسکی را در نظر بگیرید که طول ضلع یکی دوبرابر دیگری باشد.

همانطور که میبینید، وقتی طول ضلع یک مثلث سیرپینسکی ۲ برابر میشود، مساحت آن نه ۴ برابر که ۳ برابر میشود. چون مثلث سیرپینسکی بزرگتر از ۳ مثلث سیرپینسکی کوچک ساخته شده است. حالا سوآل: ۲ را باید به توان چه عددی برسانیم که بشود ۳؟ جواب زیاد سخت نیست.
2^x=3 => x = log(3)/log(2) = 1.585
بنابراین، مثلث سیرپینسکی یک شکل ۱٫۵۸۵ بعدی است. به همین ترتیب میتوان ابعاد شکلیهای دیگر را به دست آورد. ساده بود نه؟
دوست دارم یک تذکر کوچک هم بدهم. چیزی که در بالا گفتم، بعد برخالی یا هاسدورف (Hausdorff) بود. یک تعریف خیلی مهم دیگر، بعد توپولوژیکی است که من چیزی دربارهاش نگفتم. تعریف این یکی کمی سختتر از بعد برخالی است و باید آن را در یک پست جدا توضیح بدم. ولی آن چیزی که معمولن در فیزیک ازبعد میشناسیم (مثل فضا-زمان چهار بعدی)، بعد توپولوژیکی است، نه برخالی. مثلث سیرپینسکی از نظر توپولوژیکی یک بعدی است.
تکمیلی: یک توضیح کوتاه برای دوبعدی بودن مثلث! وقتی ضلع یک مثلث ۲ برابر میشود، مساحت آن ۴ برابر میشود. تعداد بعد یک مثلث x است که از فرمول زیر به دست میآید. همانطور که میبینید x برابر ۲ است.
2^x=4 => x = log(4)/log(2) = 2